二次变分¶

在金融数学中, 二次变分 (Quadratic Variation)是一个重要的概念, 是随机过程在给定时间点的波动性,可以用来描述随机过程的波动性。

Why 二次变分?¶

定义 (Adatptivity, 可实时观测性, \(\mathcal{F} (t) \text{-measurable}\)). 对于一个随机过程 \((X_t)_{t\ge 0}\) 和某个 信息流 (filtration) \((\mathcal{F_t})_{t \geq 0}\), 若到时刻 \(t\) 为止, 你能拿到的全部信息 \(\mathcal{F_t}\) 已经足以确定 \(X_t\) 的值, 则称 \(X(t)\) 为 可实时观测 的. 严格地,

\[ \forall~t, ~ X_t\ \text{是}\ \mathcal {F}(t)\text{-measurable}, \]

则称其为 可实时观测 的.

对于积分

\[ \int^T_0 \Delta(t) \mathrm{d} W(t) , \]

其中 \(T\) 为时间 (恒正), \(W(t)\) 为布朗运动. 对于被积函数 \(\Delta (t)\) 其金融学意义为 \(t\) 时刻的\textbf{持仓}, 因而可以通过随机过程来刻画. 显然 \(\Delta(t)\) 是\textbf{可实时观测}的.

然而, 在处理这个积分时, 由于

布朗运动 \(W(t)\) 的增量, 独立于过往信息集合 \(\mathcal{F}(t)\),
持仓 \(\Delta(t)\) 完全 依赖于 \(\mathcal{F}(t)\).

可以理解成: \(W(t)\) 在任意小的区间中都无限抖动, 恼人的随机性导致导数处处不存在. 故这一积分在经典微积分的逻辑下没有意义.

二次变分¶

如前所述, 随机性导致了微积分的定义出现问题. 既然 "瞬时斜率" 不存在，我们或许可以尝试更粗糙的度量, 即只看增量平方, 以此来观察随机微积分的收敛性, 应运而生的是二次变分这一数学工具：

定义 (二次变分). 设 \(X=(X_t)_{t \ge 0}\) 为定义于滤子概率空间 \((\Omega, \mathcal F, (\mathcal F_t)_{t\ge 0}, \mathbb P)\) 上的连续半鞅. 对任意有限分割

\[ \pi_n=\{0=t_0^{(n)}<t_1^{(n)}<\dots<t_{k_n}^{(n)}=t\} \quad\text{且} \quad |\pi_n|=\max_i|t_{i}^{(n)}-t_{i-1}^{(n)}|\to 0, \]

称随机变量

\[ [X]_t:=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{k_n} \left (X_{t_i^{(n)}}-X_{t_{i-1}^{(n)}} \right)^2 \quad(\text{依概率收敛}) \]

为 \(X\) 在区间 \([0, t]\) 上的二次变分.

命题 (二次变分的性质). 二次变分具有以下基本性质：

适应性：\([X]_t\) 是 \(\mathcal F_t\)-可测的, 且关于 \(t\) 非降、右连续.
双线性：对任意两个连续半鞅 \(X, Y\), 存在唯一的协变分（covariation）

\[ [X, Y]_t:=\frac{1}{4}\left([X+Y]_t-[X-Y]_t\right), \]

使得 \((X, Y)\mapsto [X, Y]_t\) 为对称双线性型.

Ito 等距核心：对适应局部有界可料过程 \(H\), 有

\[ \mathbb E\biggl[\Bigl(\int_0^t H_s\, dX_s\Bigr)^2\biggr] =\mathbb E\biggl[\int_0^t H_s^2\, d[X]_s\biggr], \]

随机积分能量守恒.

Python 实现¶

以下是一个简单的示例，展示如何使用 numpy 来模拟二次变分：

Python
import numpy as np

def f(x):
    # 定义被积分的函数，例如 f(x) = x^2
    return x**2

def quad(f, a, b, n=100):
    # 二次变分的实现
    h = (b - a) / n  # 步长
    x = np.linspace(a, b, n + 1)  # 生成 n+1 个点
    y = f(x)

    # 计算积分的近似值
    integral = h * (y[0] + y[-1]) / 2
    for i in range(1, n):
        integral += h * (y[i] + y[i + 1]) / 2

    return integral

# 测试函数
a = 0  # 积分下限
b = 1   # 积分上限
n = 100  # 分割数

result = quad(f, a, b, n)
print(f"The integral of f(x) = x^2 from {a} to {b} is approximately {result}")

在这个示例中：

f(x) 是被积分的函数，这里我们使用 f(x) = x^2 作为示例。
quad 函数实现了二次变分算法，它接受被积分的函数 f，积分的上下限 a 和下限 b，以及分割数 n。
h 是步长，计算为 (b - a) / n。
x 是分割点的数组，y 是这些点上的函数值。
积分的近似值是通过将每个小区间上的函数值乘以步长 h 并求和得到的。